Densidade de carga

1.2.1 Exemplo: esfera com densidade de carga exponencial

Considerando que na natureza as cargas elétricas só existem associadas a partículas, podemos afirmar que a maior parte do espaço está livre de cargas. Como consequência, os campos elétricos resultantes serão compostos pela somatória dos efeitos de todas as cargas presentes, de modo que a formulação exata do problema exigira o conhecimento da posição e da quantidade de carga de cada partícula carregada. Entretanto, podemos simplificar este problema pelo uso das funções densidade de carga, que expressam a quantidade de carga elétrica por unidade de volume, de área ou de comprimento, as quais definimos:

Densidade volumétrica r(r):

(C/m³),

(1.3-A)

Densidade superficial σ(r):

(C/m²),

(1.3-B)

Densidade linear l(r):

(C/m).

(1.3-C)

Como a carga efetivamente se distribui em um volume, densidades superficiais de cargas ou de densidades lineares (por exemplo, em um fio condutor) são aproximações de fenômenos volumétricos, quando imaginamos espessuras finas comparadas com as dimensões do arranjo. Para condutores em campos estáticos, a profundidade das distribuições superficiais não ultrapassa, em geral, uma ou duas camadas de átomos.

Na maioria das vezes não há problemas em usar densidades superficiais e lineares, mas a idéia de que estamos lidando com um modelo deve estar sempre presente.

Como exemplo, podemos considerar uma densidade linear λ para um fio infinito, no qual

(1.3-D)

de modo que

Assim, para uma densidade de cargas homogênea de 10 nC por metro, 1 cm de fio conterá
10^-8x 10²=10^-10C=100 pC. No caso da carga q₀ distribuída uniformemente por uma esfera de raio r₀, fazemos

(1.4)

Se quisermos saber quanto de carga há em uma casca esférica de espessura, digamos ΔR, fazemos:

(1.5)

1.2.1 Exemplo: esfera com densidade de carga exponencial

Suponha uma esfera de raio a com densidade volumétrica de cargas , decrescente. Vamos calcular a carga total deste sistema.

Seja de modo que a carga total se obtém pela integração de . Então, escolhemos o sistema de coordenadas esféricas e integramos sobre o volume da esfera de raio a:

(1.6-A)

Fazemos a integral por partes[*], o que resulta em

(1.6-B)

Quando a carga estiver concentrada no centro da esfera, isto é, quando r₀→0 ( podemos escrever

Note que é a área da superfície da esfera e tem as mesmas dimensões de uma densidade superficial. Se fizermos podemos dizer que a esfera do exemplo tem a mesma carga que uma superfície esférica de mesmo raio com densidade de carga (quando r₀→0).

1.2.2 Exercício Proposto

Mostre que a densidade de carga volumétrica constante de um objeto de espessura quando esta for muito pequena quando comparada às demais dimensões, pode ser substituída por uma densidade superficial pela relação

Este material é utilizado como notas de aula pelo Prof. Cesar José Bonjuani Pagan, na disciplina Introdução à Teoria Eletromagnética (EE521), do quinto semestre do curso de graduação em Engenharia Elétrica da UNICAMP. Ao mencionar este conteúdo solicita-se citar a fonte no seguinte formato: “Cesar J. B. Pagan, Notas de Aula ‘Introdução à Teoria Eletromagnética’, conforme disponível em [citar página web], em [inserir data].”